全微分方程的通解（什么是微分方程的通解和特解）

本文目录

• 什么是微分方程的通解和特解
• 微分方程的通解方法
• 微分方程的通解公式是什么
• 全微分的通解怎么求谢谢
• 微分方程的通解怎么求
• 解全微分方程的方法
• 微分方程的通解公式
• 求全微分方程的通解

什么是微分方程的通解和特解

通解中含有任意常数，而特解是指含有特定常数。比如y=4x^2就是xy’=8x^2的特解，但是y=4x^2+C就是xy’=8x^2的通解，其中C为任意常数。

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

微分方程研究的来源

它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y’=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

微分方程的通解方法

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。

例如：dy/dx=sin x，其解为： y=-cos x+C，其中C是待定常数；

如果知道y=f(π)=2，则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。

一阶线性常微分方程

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y’+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

扩展资料：

以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。

微分方程的通解公式是什么

常微分方程通解公式是：y=y(x)。隐式通解一般为f(x,y)=0的形式，定解条件，就是边界条件，或者初始条件 。 常微分方程，属数学概念。

学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的。在初等数学中就有各种各样的方程，,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

六种常见的常微分方程通解：

1、一阶微分方程的普遍形式。

一般形式：F（x,y,y’）=0。

标准形式：y’=f(x,y)。

主要的一阶微分方程的具体形式。

2、可分离变量的一阶微分方程。

3、齐次方程。

4、一阶线性微分方程。

5、伯努利微分方程。

6、全微分方程。

全微分的通解怎么求谢谢

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。

在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

微分方程的通解怎么求

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。

例如：

其解为：

其中C是待定常数；

如果知道

则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。

一阶线性常微分方程

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y’+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

二阶常系数齐次常微分方程

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解

对于方程：

可知其通解：

其特征方程：

根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解

一般的通解形式为：

若

则有

若

则有

在共轭复数根的情况下：

r=α±βi

扩展资料

一阶微分方程的普遍形式

一般形式：F（x,y,y’）=0

标准形式：y’=f(x,y)

主要的一阶微分方程的具体形式

约束条件

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

唯一性

存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。

针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理   则可以判别解的存在性及唯一性。

针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

参考资料来源：百度百科-常微分方程

参考资料来源：百度百科-微分方程

解全微分方程的方法

这类微分方程都具有dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy的形式，且满足P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数的特点。解答过程如下：
先由P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数，得出dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy是一个全微分方程的结论。接着得出通解是z=从（0,0）到（x，y）第二型曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
接下来，根据该积分与积分路径无关（因为P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数），可以选择从点（0,0）到点（x，y）的特殊路径积分，而最常选取的是沿折线路径积分，即先从（0,0）到（0，y）、再从（0，y）到（x，y）的折线或者是先从（0,0）到（x，0）、再从（x，0）到（x，y）的折线。最后z=积分结果 就是通解。
例如：阁下这个题，假如选择（0,0）到（x，0）、再从（x，0）到（x，y）的折线积分，则通解是z=（0,0）到（x，0）积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy + （x，0）到（x，y）积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
在第一个积分里，y（=0）是常数，所以dy=0，结果成为定积分（从0到x）（x^2 +2x*0-0^2）dx=1/3 * x^3 +C1.
在第二个积分里，x一直没变是常数，所以dx=0，结果成为定积分（从0到y）(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C2.
于是，通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C.

微分方程的通解公式

常微分方程通解公式是：y=y(x)。隐式通解一般为f(x,y)=0的形式，定解条件，就是边界条件，或者初始条件 。 常微分方程，属数学概念。

学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的。在初等数学中就有各种各样的方程，,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

六种常见的常微分方程通解：

1、一阶微分方程的普遍形式。

一般形式：F（x,y,y’）=0。

标准形式：y’=f(x,y)。

主要的一阶微分方程的具体形式。

2、可分离变量的一阶微分方程。

3、齐次方程。

4、一阶线性微分方程。

5、伯努利微分方程。

6、全微分方程。

求全微分方程的通解

求微分方程y²dx+(3xy-4y³)dy=0的通解

解：y=0；消去y得 ydx+(3x-4y²)dy=0..............①；

【由此可知：y=0是方程的一个特解】

P=y；Q=3x-4y²；∂P/∂y=1；∂Q/∂x=3；由于(1/p)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/y)(1-3)=-2/y=H(y);

因此方程①有积分因子μ：

用y²乘方程①的两边得：y³dx+(3xy²-4y^5)dy=0...........②

此时P=y³；Q=3xy²-4y^5；满足 ∂P/∂y=3y²=∂Q/∂x；故②是全微分方程。∴其通解u(x，y):

这也是原方程的通解【取微分后消去y²即得原方程】